त्रि-विमीय ज्यामिति प्रश्न 13
प्रश्न 13 - 29 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\triangle A B C$ के एक शीर्ष के निर्देशांक $A(0,2, \alpha)$ है और अन्य दो शीर्ष रेखा $\frac{x+\alpha}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}$ पर स्थित हैं। यदि $\alpha \in \mathbb{Z}$, तथा $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल 21 वर्ग इकाई है और रेखाखंड $BC$ की लंबाई $2 \sqrt{21}$ इकाई है, तो $\alpha^{2}$ के बराबर क्या है___________
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उत्तर: 9
समाधान:
सूत्र: यदि दो रेखाएँ लंब एक दूसरे पर हो तो उनके दिशा अनुपात के डॉट उत्पाद शून्य होता है (5.5) , त्रिभुज का क्षेत्रफल
A $(0, 2, \alpha)$
$\left|\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{21} \cdot \begin{vmatrix} i & j & k \\ \alpha & 1 & \alpha+4 \\ 5 & 2 & 3\end{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{25+4+9}}\right|=21 \sqrt{21}$
$\sqrt{(2 \alpha+5)^{2}+(2 \alpha+20)^{2}+(2 \alpha-5)^{2}}=\sqrt{21} \sqrt{38}$
$\Rightarrow 12 \alpha^{2}+80 \alpha+450=798$
$\Rightarrow 12 \alpha^{2}+80 \alpha-348=0$
$\Rightarrow \alpha=3 \Rightarrow \alpha^{2}=9$
बीटा
