सीधी रेखा प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 30 जनवरी - शिफ्ट 1
एक सीधी रेखा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के धनात्मक दिशा में क्रमशः $OA=a$ और $OB=b$ के अंतराल काटती है। यदि मूल बिंदु $O$ से इस रेखा पर लम्ब धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा से $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है और त्रिभुज $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{98}{3} \sqrt{3}$ है, तो $a^{2}-b^{2}$ किसके बराबर है:
(1) $\frac{392}{3}$
(2) 196
(3) $\frac{196}{3}$
(4) 98
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: लम्ब / अभिलम्ब रूप
सीधी रेखा का समीकरण : $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
या $x \cos \frac{\pi}{3}+y \sin \frac{\pi}{3}=p$
$\frac{x}{2}+\frac{y \sqrt{3}}{2}=p$
$\frac{x}{2 p}+\frac{y}{\frac{2 p}{\sqrt{3}}}=1$
तुलना करने पर : $a=2 p, b=\frac{2 p}{\sqrt{3}}$
अब त्रिभुज $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \cdot ab=\frac{98}{3} \cdot \sqrt{3}$
$\frac{1}{2} \cdot 2 p \cdot \frac{2 p}{\sqrt{3}}=\frac{98}{3} \cdot \sqrt{3}$
$p^{2}=49$
$$\begin{aligned} & a^2-b^2=4 p^2-\frac{4 p^2}{3}=\frac{2}{3} 4 p^2 \\ & =\frac{8}{3} \cdot 49=\frac{392}{3} \end{aligned}$$
$\therefore$ उत्तर $\frac{392}{3}$ है
बीटा
