उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: अनुप्रस्थ संबंध (iv) , सममिति संबंध (v) , संक्रमणीय संबंध (vi) , समतुल्यता संबंध (vii)

मान लीजिए $(a, b) \in \mathbb{R}$

$ f(a, b)=2 a+3 b $

अनुप्रस्थ के लिए

$ f(a, a)=2a+3a=5a \text{ अर्थात विभाज्य है } 5 $

$ \Rightarrow(a, a) \in R $

सममिति के लिए

$f(b, a)=2 b+3 a=5 a+5 b-(2 a+3 b)$, 5 से विभाज्य

$ f(b, a) \text { 5 से विभाज्य है } \Rightarrow(b, a) \in R $

संक्रमणीय के लिए

$ \begin{alignedat} & f(a, b)=2 a+3 b \text { 5 से विभाज्य है } \\ & \quad \Rightarrow 2a + 3b = 5\alpha \\ & f(b, c)=2 b+3 c \text { 5 से विभाज्य है } \\ & \Rightarrow 2b + 3c = 5\beta \end{aligned} $

$ 2a + 5b + 3c = 5(\alpha + \beta) \Rightarrow 2a + 3c = 5(\alpha + \beta - b) \Rightarrow \text{ a R c } $

इसलिए, $2a + 3c$ 5 से विभाज्य है

$ \Rightarrow(a, c) \in R $

अतः, संबंध एक समतुल्यता संबंध है।