सेट और संबंध प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 24 जनवरी - शिफ्ट 1
संबंध $R=\lbrace(a, b): gcd(a, b)=1,2 a \neq b, a, b \in \mathbb{Z}\rbrace$ है:
(1) प्रतिच्छेदी लेकिन अप्रतिच्छेदी
(2) सममिति लेकिन अप्रतिच्छेदी
(3) प्रतिच्छेदी लेकिन असममिति
(4) न तो सममिति और न ही प्रतिच्छेदी
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: प्रतिच्छेदी संबंध (iv) , सममिति संबंध (v) , प्रतिच्छेदी संबंध (vi)
प्रतिच्छेदी: $(a, a) \Rightarrow \text{gcd}(a, a)=1$
जो कि प्रत्येक a $\epsilon$ Z के लिए सत्य नहीं है।
सममिति:
ले corner $a=2, b=1 \Rightarrow \text{gcd}(2,1)=1$
इसके अलावा $2 a=4 \neq b$
अब जब $a=1, b=2 \Rightarrow \text{gcd}(1,2)=1$
इसके अलावा अब $2 a=2=b$
अतः $a=2 b$
$\Rightarrow R$ सममिति नहीं है
प्रतिच्छेदी:
मान ले $a=14, b=19, c=21$
$gcd(a, b)=1$
इसके अलावा $2a=28 \neq 19=b$
$gcd(b, c)=1$
इसके अलावा $2b= 38 \neq 21=c$
लेकिन $gcd(a, c)=7$
अतः प्रतिच्छेदी नहीं है
$\Rightarrow R$ न तो सममिति और न ही प्रतिच्छेदी है।
बीटा
