sequences_and_series_question_7
рдкреНрд░рд╢реНрди 7 - 29 рдЬрдирд╡рд░реА - рд╢рд┐рдлреНрдЯ 2
рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП ${a_k}$ рдФрд░ ${b_k}, k \in \mathbb{N}$, рджреЛ G.P. рд╣реИрдВ рдЬрд┐рдирдХреЗ рд╕рд╛рдорд╛рдиреНрдп рдЕрдиреБрдкрд╛рдд $r_1$ рдФрд░ $r_2$ рд╣реИрдВ рдЬреИрд╕реЗ рдХрд┐ $a_1=b_1=4$ рдФрд░ $r_1<r_2$. рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП $c_k=a_k+b_k, k \in \mathbb{N}$. рдпрджрд┐ $c_2=5$ рдФрд░ $c_3=\frac{13}{4}$ рддреЛ $\sum _{k=1}^{\infty} c_k-(12 a_6+8 b_4)$ рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рдХреНрдпрд╛ рд╣реИ ________
рдЙрддреНрддрд░ рджрд┐рдЦрд╛рдПрдВ
рдЙрддреНрддрд░: 9
рд╕рдорд╛рдзрд╛рди:
рд╕реВрддреНрд░: рдЕрдирдВрдд рдЧреБрдгреЛрддреНрддрд░ рд╢реНрд░реЗрдгреА рдХрд╛ рдпреЛрдЧ (III)
$\begin{gathered} a_1=b_1=4 ; \quad c_2=a_1 r_1+b_1 r_2 ; \quad c_2=4 r_1+4r_2=5 \] c_3=4 r_1^2+4r_2^2=\frac{13}{4} \\ r_1^2+r_2^2+2 r_1 r_2=\frac{25}{16} \Rightarrow \frac{25}{16}-\frac{13}{16}=2 r_1 r_2 \\ \Rightarrow 2 r_1 r_2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4} \Rightarrow r_1=\frac{1}{4}, r_2=\frac{3}{4} \\ \sum _{k=1}^{\infty} C_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\ldots \\ =8+4 \times 4=24 \\ \text { Ans }=24-15=9 \end{gathered}$
рдмреАрдЯрд╛
