गणितीय श्रृंखला एवं श्रेणी प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 24 जनवरी - विस्थापन 1
एक गुणोत्तर श्रेणी (GP) का $4^{\text{th }}$ पद 500 है और इसका सार्व अनुपात $\frac{1}{m}, m \in N$ है। मान लीजिए $S_n$ इस GP के पहले $n$ पदों के योग को दर्शाता है। यदि $S_6 > S_5 + 1$ और $S_7 < S_6 + \frac{1}{2}$, तो $m$ के संभावित मानों की संख्या _______ है।
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उत्तर: 12
समाधान:
सूत्र: गुणोत्तर श्रेणी ($ n^{th}$ पद ) और (n वें पद के योग)
$T_4=500 \quad$ जहाँ $a=$ पहला पद,
$ r=\text{ सार्व अनुपात }=\frac{1}{m}, m \in N $
$ar^{3}=500$
$\frac{a}{m^{3}}=500$
$S_n - S_{n-1}=ar^{n-1}$
$S_6 > S_5 + 1 \quad$ और $S_7 - S_6 < \frac{1}{2}$
$S_6 - S_5 > 1$
$\frac{a}{m^{6}} < \frac{1}{2}$
$ar^{5} > 1$
$m^{3} > 10^{3}$
$\frac{500}{m^{2}} > 1$
$m > 10$
$m^{2} < 500$
(1) और (2) से
$m=11,12,13…….22$.
इसलिए $m$ के संभावित मानों की संख्या 12 है
बीटा
