गुणोत्तर श्रेणी और अनुक्रम प्रश्न 12
प्रश्न 12 - 30 जनवरी - विस्थापन 2
पराबोला : $a x^{2}+2 b x+c y=0$ और $d^{2}+2 e x+f y=0$ रेखा $y=1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $a, b, c, d, e, f$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो
(1) $d, e, f$ अपवर्ती श्रेणी में हैं।
(2) $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
(3) $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ अपवर्ती श्रेणी में हैं।
(4) $d, e, f$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: अपवर्ती श्रेणी में तीन संख्याओं की शर्त (iii)
$ax^{2}+2 bx+c=0$
$\Rightarrow ax^{2}+2 \sqrt{ac} x+c=0(\because b^{2}=ac)$
$\Rightarrow(x \sqrt{a}+\sqrt{c})^{2}=0$
$x= -\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}$
अब, $dx^{2}+2x ex+f=0$
$\Rightarrow d(\frac{c}{a})+2 e[-\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}]+f=0$
$\Rightarrow \frac{dc}{a}+f=2 e \sqrt{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow \frac{d}{a}+\frac{f}{c}=2 e \sqrt{\frac{1}{ac}}$
$\Rightarrow \frac{d}{a}+\frac{f}{c}=\frac{2 e}{b}[$ जैसे $b=\sqrt{ae}]$
$\therefore \frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ अपवर्ती श्रेणी में हैं।
बीटा
