sequences_and_series_question_11
рдкреНрд░рд╢реНрди 11 - 30 рдЬрдирд╡рд░реА - рд╢рд┐рдлреНрдЯ 2
рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП $a, b, c>1, a^{3}, b^{3}$ рдФрд░ $c^{3}$ A.P. рдореЗрдВ рд╣реИрдВ, рдФрд░ $\log _a b$, $\log _c a$ рдФрд░ $\log _b c$ G.P. рдореЗрдВ рд╣реИрдВред рдпрджрд┐ рдПрдХ A.P. рдХреЗ рдкрд╣рд▓реЗ 20 рдкрджреЛрдВ рдХрд╛ рдпреЛрдЧ, рдЬрд┐рд╕рдХрд╛ рдкрд╣рд▓рд╛ рдкрдж $\frac{a+4 b+c}{3}$ рд╣реИ рдФрд░ рд╕рд╛рд░реНрд╡ рдЕрдВрддрд░ $\frac{a-8 b+c}{10}$ рд╣реИ, -444 рд╣реИ, рддреЛ abc рдХрд╛ рдорд╛рди рдХрд┐рд╕рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИ?
(1) 343
(2) 216
(3) $\frac{343}{8}$
(4) $\frac{125}{8}$
рдЙрддреНрддрд░ рджрд┐рдЦрд╛рдПрдВ
рдЙрддреНрддрд░: (2)
рд╕рдорд╛рдзрд╛рди:
рд╕реВрддреНрд░: A.P. рдХреЗ n рдкрджреЛрдВ рдХрд╛ рдпреЛрдЧ , рдЧреБрдгреЛрддреНрддрд░ рдорд╛рдзреНрдп (G.M.)(I)
рдХреНрдпреЛрдВрдХрд┐ $a^{3}, b^{3}, c^{3}$ A.P. рдореЗрдВ рд╣реИрдВ $\to a^{3}+c^{3}=2 b^{3}$…………….(1)
$\log _a^{b}, \log _c^{a}, \log _b^{c}$ G.P. рдореЗрдВ рд╣реИрдВред
$\therefore \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b}=(\frac{\log a}{\log c})^{2}$
$\therefore(\log a)^{3}=(\log c)^{3} \Rightarrow a=c$ ………………….(2)
(1) рдФрд░ (2) рд╕реЗ
$a=b=c$
$T_1=\frac{a+4 b+c}{3}=2 a ; d=\frac{a-8 b+c}{10}=\frac{-6 a}{10}=\frac{-3}{5} a$
$\therefore S _{20}=\frac{20}{2}[4 a+19(-\frac{3}{5} a)]$
$=10[\frac{20 a-57 a}{5}]$
$=-74 a$
$\therefore-74 a=-444 \Rightarrow a=6$
$\therefore abc=6^{3}=216$
рдмреАрдЯрд╛
