sequences_and_series_question_10
рдкреНрд░рд╢реНрди 10 - 30 рдЬрдирд╡рд░реА - рд╢рд┐рдлреНрдЯ 1
рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП $\quad \sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}((2 n) !)+(2 n-1)(n !)}{(n !)((2 n) !)}=a e+\frac{b}{e}+c$,рдЬрд╣рд╛рдБ $a, b, c \in \mathbb{Z}$ рдФрд░ $e=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}$ рддреЛ $a^{2}-b+c$ рдХрд┐рд╕рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИ _____
рдЙрддреНрддрд░ рджрд┐рдЦрд╛рдПрдВ
рдЙрддреНрддрд░: 26
рд╕рдорд╛рдзрд╛рди:
рд╕реВрддреНрд░: рдЕрдВрдХрдЧрдгрд┐рддреАрдп-рдЧреБрдгреЛрддреНрддрд░ рд╢реНрд░реЗрдгреА (A.G.P.) (ii)
$\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^{3}((2 n) !)+(2 n-1)(n !)}{(n !)((2 n) !)}$
$=\sum _{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-3) !}+\sum _{n=2}^{\infty} \frac{3}{(n-2) !}$
$+\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1) !}+\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) !}-\sum _{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !}$
$=e+3 e+e+\frac{1}{2}(e-\frac{1}{e})-\frac{1}{2}(e+\frac{1}{e})$
$=5 e-\frac{1}{e}$
$a^{2}-b+c=26$
рдмреАрдЯрд╛
