उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: तीन संख्याओं के लिए समांतर श्रेणी की शर्त

$pq^{2}=\log _x \lambda$

$qr=\log _y \lambda$

$p^{2} r=\log _z \lambda$

$\log _y x=\frac{qr}{pq^{2}}=\frac{r}{pq}$

$\log _x z=\frac{pq^{2}}{p^{2} r}=\frac{q^{2}}{pr}$

$\log _z y=\frac{p^{2} r}{q r}=\frac{p^{2}}{q}$

$3, \frac{3 r}{p q}, \frac{3 p^{2}}{q}, \frac{7 q^{2}}{p r}$ एक समांतर श्रेणी में है

$\frac{3 r}{pq}-3=\frac{1}{2}$

$r=\frac{7}{6} pq$

$r=pq+1$

$pq=6 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots(1)$

$\begin{aligned} & r=7 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .(2) \\ & \frac{3 p^2}{q}=4 \\ & \left(\frac{3 p^2}{q}\right)(p q)=4 \times 6 \\ & \Rightarrow 3 p^3=24 \\ & \Rightarrow p^3=8=2^3 \\ & \Rightarrow p=2 \\ & \therefore q=\frac{6}{p}=\frac{6}{2}=3 \\ & \therefore r-p-q=7-2-3=7-5=2 . \end{aligned}$