उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: समीकरण के मूल

$ e^{4 x}+8 e^{3 x}+13 e^{2 x}-8 e^x+1=0 $

मान लीजिए $e^{x}=t$

अब, $t^4+8 t^3+13 t^2-8 t+1=0$

समीकरण को $t^2$ से विभाजित करें,

$ \begin{aligned} & t^2+8 t+13-\frac{8}{t}+\frac{1}{t^2}=0 \\ & t^2+\frac{1}{t^2}+8\left(t-\frac{1}{t}\right)+13=0 \\ & \left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2+8\left(t-\frac{1}{t}\right)+13=0 \end{aligned} $

मान लीजिए $t-\frac{1}{t}=z$

$ \begin{aligned} & z^2+8 z+15=0 \\ & (z+3)(z+5)=0 \\ & z=-3 \text { या } z=-5 \end{aligned} $

इसलिए, $t-\frac{1}{t}=-3$ या $t-\frac{1}{t}=-5$

$t^2+3 t-1=0$ या $t^2+5 t-1=0$

$t=\frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$ या $t=\frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$ जबकि $t=e^{x}$

इसलिए $t$ धनात्मक होना चाहिए, $t=\frac{\sqrt{13}-3}{2} \text { या } \frac{\sqrt{29}-5}{2}$

इसलिए, $x=\ln \left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)$

$ \text { या } \mathbf{x}=\ln \left(\frac{\sqrt{29}-5}{2}\right) $

इसलिए दो समाधान हैं और दोनों नकारात्मक हैं।