द्विघात समीकरण प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 24 जनवरी - विस्थापन 1
मान लीजिए $\alpha$ समीकरण $(a-c) x^{2}+(b-a) x+(c-b)=0$ का एक मूल है जहाँ $a, b, c$ अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि आव्यूह $ \begin{bmatrix} \alpha^{2} & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c\end{bmatrix} $ असंगत है। तब $\frac{(a-c)^{2}}{(b-a)(c-b)}+\frac{(b-a)^{2}}{(a-c)(c-b)}+\frac{(c-b)^{2}}{(a-c)(b-a)}$ का मान है
(1) 6
(2) 3
(3) 9
(4) 12
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: विशेष स्थिति के तहत मूल (vi)
$\Delta=0= \begin{vmatrix} \alpha^{2} & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c\end{vmatrix} $
$\Rightarrow \alpha^{2}(c-b)-\alpha(c-a)+(b-a)=0$
जब $\alpha=1$ हो तो आव्यूह असंगत होता है
$\frac{(a-c)^{2}}{(b-a)(c-b)}+\frac{(b-a)^{2}}{(a-c)(c-b)}+\frac{(c-b)^{2}}{(a-c)(b-a)}$
$ = \frac{(a-b)^{3}+(b-c)^{3}+(c-a)^{3}}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=3 \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=3$
बीटा
