त्रिभुज के गुण प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 01 फरवरी - विस्थापन 1
एक त्रिभुज $ABC$ के लिए $\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ का मान अधिकतम है। यदि इसकी अन्तःत्रिज्या 3 है और अन्तःकेंद्र $M$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?
(1) $\triangle ABC$ का परिमाप $18 \sqrt{3}$ है
(2) $\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C=4\sin A\sin B\sin C$
(3) $\overrightarrow{{}MA} \cdot \overrightarrow{{}MB}=-18$
(4) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ है
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उत्तर: (4)
समाधान:
यदि $\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ न्यूनतम है तो $A=B=C=90^{\circ}$
इसलिए $\triangle ABC$ समबाहु है
अब अन्तःत्रिज्या $r=3$
इसलिए $\triangle MBD$ में हमारे पास
$tan 30^{\circ}=\frac{M D}{B D}=\frac{r}{a / 2}=\frac{6}{a}$
$\frac{1} {\sqrt{3}}=\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}=6 \sqrt{3}$
$\triangle ABC$ का परिमाप $18 \sqrt{3}$ है
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}=27 \sqrt{3}$
बीटा
