उत्तर: 146

समाधान:

सूत्र: किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण , त्रिभुज का क्षेत्रफल

क्योंकि $P(b, c)$ परवलय पर स्थित है, इसलिए $c^{2}=2 ab \cdots (1)$

अब परवलय $y^{2}=2 a x$ के बिंदु रूप में स्पर्शरेखा का समीकरण $yy_1=2 a \frac{(x+x_1)}{2},(x_1, y_1)=(b, c)$

$\Rightarrow yc=a(x+b)$

बिंदु $B$ के लिए $y=0$ रखें, अब $x=-b$

इसलिए त्रिभुज $PBA$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times AB \times AP=16$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \times 2 b \times c=16$

$\Rightarrow bc=16$

क्योंकि $b$ और $c$ प्राकृतिक संख्या हैं, इसलिए $(b, c)$ के संभावित मान $(1,16),(2,8),(4,4),(8,2)$ और $(16,1)$ हैं

अब समीकरण (1) से $a=\frac{c^{2}}{2 b}$ और $a \in \mathbb{N}$, इसलिए $(b, c)$ के मान $(1,16),(2,8)$ और $(4,4)$ हैं

अब $a$ के मान 128, 16 और 2 हैं ।

इसलिए $a$ के मानों का योग 146 है ।