उत्तर: (2)

समाधान:

सूत्र: लम्बकेंद्र , समांतर या लम्ब रेखाओं की शर्त , किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण

$AB:(\lambda+1) x+\lambda y=4$

$AC: \lambda x+(1-\lambda) y+\lambda=0$

शीर्ष $A$ $y$-अक्ष पर है

$\Rightarrow x=0$

इसलिए $y=\frac{4}{\lambda}, y=\frac{\lambda}{\lambda-1}$

$\Rightarrow \frac{4}{\lambda}=\frac{\lambda}{\lambda-1}$

$\Rightarrow \lambda=2$

$AB: 3 x+2 y=4$

$AC: 2 x-y+2=0$

$\Rightarrow A(0,2)$

मान लीजिए $C(\alpha, 2 \alpha+2)$

अब (C से गुजरने वाले लम्ब की ढलान) $(-\frac{3}{2})=-1$

$(\frac{2 \alpha}{\alpha-1})(-\frac{3}{2})=-1 \Rightarrow \alpha=-\frac{1}{2}$

इसलिए $C(-\frac{1}{2}, 1)$

स्पर्श रेखा का समीकरण: $$ \begin{gathered} y=m x+\frac{a}{m} \ y=m x+\frac{3}{2 m} \end{gathered} $$

क्योंकि, यह बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ से गुजरती है। $$ 1=\left(\frac{-1}{2}\right){m+\frac{3}{2 m}} $$

$\begin{aligned} & 1=\frac{-m^2+2}{2 m} \ & 2 m=-m^2+3 \ & m^2+2 m-3=0 \ & m^2+3 m-m-3=0\end{aligned}$

$\begin{gathered}m(m+3)-1(m+3)=0 \ (m+3)(m-1)=0 \ m=-3,1\end{gathered}$

$\begin{aligned} & \text { पहले चतुर्थांश में स्पर्श बिंदु }=\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2 a}{m}\right) \ & =\left(\frac{3 / 2}{1}, \frac{2 \times 3 / 2}{1}\right)=\left(\frac{3}{2}, 3\right) \ & \text { बिंदु } P C \text { की लंबाई }=\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+(3-1)^2} \ & \qquad d=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} .\end{aligned}$