उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: मैट्रिक्स के उल्टा के गुणधर्म , निर्णयक के गुणधर्म

यदि यह उल्टा हो, तो निर्णयक का मान $\neq 0$ होता है

इसलिए,

$ \begin{vmatrix} e^{t} & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) & e^{-t}(-2 \sin t-\cos t) \\ e^{t} & e^{-t}(2 \sin t+\cos t) & e^{-t}(\sin t-2 \cos t) \\ e^{t} & e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t\end{vmatrix} \neq 0$

$\Rightarrow e^{t} \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \sin t-2 \cos t & -2 \sin t-\cos t \\ 1 & 2 \sin t+\cos t & \sin t-2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{vmatrix} \neq 0$

$R_1 \to R_1-R_2$ लागू करने और फिर $R_2 \to R_2-R_3$ करने पर हम प्राप्त करते हैं

$e^{-t} \begin{vmatrix} 0 & -\sin t-3\cos t & -3 \sin t+\cos t \\ 0 & 2 \sin t & -2 \cos t \\ 1 & \cos t & \sin t\end{vmatrix} \neq 0$

हम विस्तार करके प्राप्त करते हैं,

$e^{-t} \times 1(2 \sin t \cos t+6 \cos ^{2} t+6 \sin ^{2} t-2 \sin t \cos t) \neq 0$

$\Rightarrow e^{-t} \times 6 \neq 0$ $\forall t \in \mathbb{R}$