मैट्रिक्स प्रश्न 7
प्रश्न 7 - 29 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ वास्तविक संख्याएँ हैं। एक $3 \times 3$ मैट्रिक्स $A$ इस प्रकार है कि $A^{2}=3 A+\alpha$ I। यदि $A^{4}=21 A+\beta I$, तो
(1) $\alpha=1$
(2) $\alpha=4$
(3) $\beta=8$
(4) $\beta=-8$
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: एक वर्ग मैट्रिक्स के धनात्मक पूर्णांक घातों के गुणधर्म , सदिश गुणन के गुणधर्म , मैट्रिक्स गुणन के गुणधर्म
$A^{2}=3 A+\alpha I$
$\Rightarrow \ A^{3}=3 A^{2}+\alpha A$
$\Rightarrow \ A^{3}=3(3 A+\alpha I)+\alpha A$
$\Rightarrow \ A^{3}=9 A+\alpha A+3 \alpha I$
$\Rightarrow \ A^{4}=(9+\alpha) A^{2}+3 \alpha A$
$=(9+\alpha)(3 A+\alpha I)+3 \alpha A$
$=A(27+6 \alpha)+\alpha(9+\alpha )I$
$\because \ A^4 = 21 A+\beta I$
$\Rightarrow 27+6 \alpha=21 \Rightarrow \alpha=-1$
$\Rightarrow \beta=\alpha(9+\alpha)=-8$
बीटा
