मैट्रिक्स प्रश्न 6
प्रश्न 6 - 25 जनवरी - शिफ्ट 2
मान लीजिए $A, B, C$ $3 \times 3$ मैट्रिक्स हैं जैसे कि $A$ सममिति है और $B$ और $C$ विषममिति हैं।
निम्नलिखित कथनों को ध्यान में रखिए
(S1) $A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}$ सममिति है
(S2) $A^{26} C^{13}-C^{13} A^{26}$ सममिति है
तब,
(1) केवल S2 सही है
(2) केवल S1 सही है
(3) दोनों $S 1$ और $S 2$ गलत हैं
(4) दोनों S1 और S2 सही हैं
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: मैट्रिक्स के ट्रांसपोज के गुणधर्म , एक वर्ग मैट्रिक्स के धनात्मक पूर्णांक घात के गुणधर्म , मैट्रिक्स के प्रकार
दिया गया है, $A^{T}=A, B^{T}=-B, C^{T}=-C$
मान लीजिए $M=A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13}$
तब, $M^{T}=(A^{13} B^{26}-B^{26} A^{13})^{T}$
$=(A^{13} B^{26})^{T}-(B^{26} A^{13})^{T}$
$=(B^{T})^{26}(A^{T})^{13}-(A^{T})^{13}(B^{T})^{26}$
$=B^{26} A^{13}-A^{13} B^{26}=-M$
अतः, $M$ विषममिति है
मान लीजिए, $N=A^{26} C^{13}-C^{13} A^{26}$
तब, $N^{T}=(A^{26} C^{13})^{T}-(C^{13} A^{26})^{T}$
$=-(C)^{13}(A)^{26}+A^{26} C^{13}=N$
अतः, $N$ सममिति है।
$\therefore$ केवल $S 2$ सही है।
बीटा
