उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: मैट्रिक्स के ट्रांसपोज के गुणधर्म , मैट्रिक्स गुणन के गुणधर्म , मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के गुणधर्म , वर्ग मैट्रिक्स के धनात्मक पूर्णांक घात के गुणधर्म

$AA^{T}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{-3}{\sqrt{10}} \\ \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} $

$B^{2}= \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 i \\ 0 & 1\end{bmatrix} $

$B^{3}= \begin{bmatrix} 1 & -3 i \\ 0 & 1\end{bmatrix} $

$B^{2023}= \begin{bmatrix} 1 & -2023 i \\ 0 & 1\end{bmatrix} $

$M=A^{T} BA$

$M^{2}=M \cdot M=A^{T} BA A^{T} BA=A^{T} B^{2} A$

$M^{3}=M^{2} \cdot M=A^{T} B^{2} A A^{T} B A=A^{T} B^{3} A$

$M^{2023}=A^{T} B^{2023} A $

अब, $AM^{2023} A^{T}=AA^{T} B^{2023} AA^{T}=B^{2023}$

$= \begin{bmatrix} 1 & -2023 i \\ 0 & 1\end{bmatrix} $

$(AM^{2023} A^{T})$ का व्युत्क्रम है $ \begin{bmatrix} 1 & 2023 i \\ 0 & 1\end{bmatrix} $