उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: मैट्रिक्स के सहखंडज के गुणधर्म , निर्णयांक के गुणधर्म , अदिश गुणन के गुणधर्म , मैट्रिक्स योग के गुणधर्म

$A= \begin{bmatrix} m & n \\ p & q\end{bmatrix} , \quad|A-d(adj A)|=0$

$\Rightarrow |A-d(adj A)|= \left| \begin{bmatrix} m & n \\ p & q\end{bmatrix} -d \begin{bmatrix} q & -n \\ -p & m\end{bmatrix} \right|,$

$= \begin{vmatrix} m-qd & n(1+d) \\ p(1+d) & q-md\end{vmatrix} =0$

$\Rightarrow \quad(m-qd)(q-md)-np(1+d)^{2}=0$

$\Rightarrow \quad m q-m^{2} d-q^{2} d+m q d^{2}-n p(1+d)^{2}=0$

$\Rightarrow \quad (m q-n p)+d^{2}(m q-n p)-d(m^{2}+q^{2}+2 n p)=0$

$\Rightarrow \quad d+d^{3}-d((m+q)^{2}-2 d)=0 \qquad [\because \ d= |A|=ma-np]$

$\Rightarrow \quad 1+d^{2}=(m+q)^{2}-2 d \quad [d \neq 0]$

$\Rightarrow \quad(1+d)^{2}=(m+q)^{2}$

$\therefore \quad$ विकल्प (1) सही है।