क्षमता फलन के प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 01 फरवरी - विस्थापन 2
मान लीजिए $S=\lbrace x \in R: 0<x<1 \ $ और $ \ 2 \tan ^{-1}(\frac{1-x}{1+x})=\cos ^{-1}(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}})\rbrace $. यदि $n(S)$ $S$ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है तो :
(1) $n(S)=2$ और $S$ में केवल एक तत्व $\frac{1}{2}$ से कम है।
(2) $n(S)=1$ और $S$ में तत्व $\frac{1}{2}$ से अधिक है।
(3) $n(S)=1$ और $S$ में तत्व $\frac{1}{2}$ से कम है।
(4) $n(S)=0$
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: तंगतन फलन के घटाव के सूत्र , कोसाइन फलन के दोगुना कोण के तंगतन रूप में सूत्र
$0<x<1$
$2 \tan ^{-1}(\frac{1-x}{1+x})=\cos ^{-1}(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}})$
$\tan ^{-1} x=\theta \in(0, \frac{\pi}{4}) \therefore x=\tan \theta$
$2 \tan ^{-1}(\tan (\frac{\pi}{4}-\theta))=\cos ^{-1}(\cos 2 \theta)$
$2(\frac{\pi}{4}-\theta)=2 \theta \quad \therefore 4 \theta=\frac{\pi}{2} \quad \therefore \theta=\frac{\pi}{8}$
$x=\tan \frac{\pi}{8} \quad \therefore x=\sqrt{2}-1 \simeq 0.414$
बीटा
