उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: साइन और कोसाइन व्युत्क्रम फलन के गुण : $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$

$ \begin{aligned} & \sin ^{-1} \sin \theta-(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sin \theta)>0 \\ & \Rightarrow \sin ^{-1} \sin \theta>\frac{\pi}{4} \\ & \Rightarrow \sin \theta>\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & \text{ इसलिए, } \theta \in(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}) \\ & \theta \in(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4})=(a, b) \\ & b-a=\frac{\pi}{2}=\alpha-\beta \\ & \Rightarrow \beta=\alpha-\frac{\pi}{2} \\ & \Rightarrow \alpha x^{2}+\beta x+\sin ^{-1}[(x-3)^{2}+1]+\cos ^{-1}[(x-3)^{2}+1]=0 \\ & \text{जब } \ x=3,9 \alpha+3 \beta+\frac{\pi}{2}+0=0 \\ & \Rightarrow 9 \alpha+3(\alpha-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}=0 \\ & \Rightarrow 12 \alpha-\pi=0 \\ & \alpha=\frac{\pi}{12} \end{aligned} $