प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
यदि एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) के चार धनात्मक क्रमागत पदों का योग और गुणनफल क्रमशः 126 और 1296 है, तो ऐसी सभी गुणोत्तर श्रेणियों के सामान्य अनुपातों के योग क्या होगा?
7
(2) $\frac{9}{2}$
3
14
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: G.P. के पदों के गुणधर्म
$a, ar, ar^{2}, ar^{3}(a, r>0)$
$a^{4} r^{6}=1296$
$a^{2} r^{3}=36$
$a=\frac{6}{r^{3 / 2}}$
$a+a r+a r^{2}+a r^{3}=126$
$\frac{1}{r^{3 / 2}}+\frac{r}{r^{3 / 2}}+\frac{r^{2}}{r^{3 / 2}}+\frac{r^{3}}{r^{3 / 2}}=\frac{126}{r^{3 / 2}}=21$
$(r^{-3 / 2}+r^{3 / 2})+(r^{1 / 2}+r^{-1 / 2})=21$
$r^{1 / 2}+r^{-1 / 2}=A$
$r^{-3 / 2}+r^{3 / 2}+3 A=A^{3}$
$A^{3}-3 A^{2}+A=21$
$A^{3}-2 A=21$
$A=3$
$\sqrt{r}+\frac{1}{\sqrt{r}}=3$
$r+1=3 \sqrt{r}$
$r^{2}+2 r+1=9 r$
$r^{2}-7 r+1=0$
$\therefore \text{The ; roots ; are} ; \frac{7 \pm \sqrt{3}i}{2}$
सभी ऐसी गुणोत्तर श्रेणियों के सामान्य अनुपातों का योग 7 है।
बीटा
