क्षमता फलन के प्रश्न 3
प्रश्न 3 - 30 जनवरी - विस्थापन 2
मान लीजिए $a_1=1, a_2, a_3, a_4, \ldots .$. क्रमागत प्राकृत संख्याएँ हैं। तब $\tan ^{-1}(\frac{1}{1+a_1 a_2})+\tan ^{-1}(\frac{1}{1+a_2 a_3})$ $+\ldots ….+\tan ^{-1}(\frac{1 }{1+a _{2021} a _{2022}})$ किसके बराबर है?
(1) $\frac{\pi}{4}-\cot ^{-1}(2022)$
(2) $\cot ^{-1}(2022)-\frac{\pi}{4}$
(3) $\tan ^{-1}(2022)-\frac{\pi}{4}$
(4) $\frac{\pi}{4}-\tan ^{-1}(2022)$
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: (1,3)
समाधान:
सूत्र: क्षमता फलन के व्युत्क्रम फलन के घटाव की पहचान।
$ \begin{aligned} & a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots \ldots=a _{2022}-a _{2021}=1 \\ & \therefore \tan ^{-1}(\frac{a_2-a_1}{1+a_1 a_2})+\tan ^{-1}(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3})+\ldots . .+\tan ^{-1}(\frac{a _{2022}-a _{2021}}{1+a _{2021} a _{2022}}) \\ & =[(\tan ^{-1} a_2)-\tan ^{-1} a_1]+[\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2]+\ldots \ldots +[\tan ^{-1} a _{2022}-\tan ^{-1} a _{2021}] \\ & =\tan ^{-1} a _{2022}-\tan ^{-1} a_1 \\ & =\tan ^{-1}(2022)-\tan ^{-1} 1=\tan ^{-1} 2022-\frac{\pi}{4}(\text{ option 3) } \\ & =(\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1}(2022))-\frac{\pi}{4} \\ & =\frac{\pi}{4}-\cot ^{-1}(2022) \text{ (option 1) } \end{aligned} $
बीटा
