उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: फंक्शन पर ऑपरेशन

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें समीकरण को संतुष्ट करने वाले फंक्शन $f:{1,2,3,4} \rightarrow{a \in \mathbb{Z}| | a \mid \leq 8}$ की संख्या ज्ञात करनी होगी:

$$ f(n)+\frac{1}{n} f(n+1)=1 \quad \text { for } n \in{1,2,3} $$

चरण 1: समीकरण को पुन: लिखें हम दिए गए समीकरण से शुरू करते हैं:

$$ f(n)+\frac{1}{n} f(n+1)=1 $$

भिन्न को हटाने के लिए इसे $n$ से गुणा करने पर:

$$ n f(n)+f(n+1)=n $$

चरण 2: $n=1,2,3$ के लिए समीकरण बनाएं अब हम $n=1,2,3$ के लिए समीकरण बना सकते हैं:

1. $n=1$ के लिए:

$$ 1 f(1)+f(2)=1 \quad \Rightarrow \quad f(1)+f(2)=1 $$

(समीकरण 1) 2. $n=2$ के लिए:

$$ 2 f(2)+f(3)=2 \Rightarrow 2 f(2)+f(3)=2 $$

(समीकरण 2) 3. $n=3$ के लिए:

$$ 3 f(3)+f(4)=3 \Rightarrow 3 f(3)+f(4)=3 $$

(समीकरण 3)

चरण 3: $f(2)$ और $f(3)$ को $f(1)$ के रूप में व्यक्त करें समीकरण 1 से हम $f(2)$ को व्यक्त कर सकते हैं:

$$ f(2)=1-f(1) $$

समीकरण 2 में $f(2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:

$$ 2(1-f(1))+f(3)=2 $$

इसे सरल करने पर:

$$ 2-2 f(1)+f(3)=2 \Rightarrow f(3)=2 f(1) $$

चरण 4: $f(4)$ को $f(1)$ के रूप में व्यक्त करें अब $f(3)=2 f(1)$ को समीकरण 3 में प्रतिस्थापित करने पर:

$$ 3(2 f(1))+f(4)=3 $$

इसे सरल करने पर:

$$ 6 f(1)+f(4)=3 \Rightarrow f(4)=3-6 f(1) $$

चरण 5: $f(1)$ पर बंधन निर्धारित करें हम जानते हैं कि $|f(n)| \leq 8$ जहां $n=1,2,3,4$ है। इसलिए हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

1. $f(1)$ के लिए:

$$ |f(1)| \leq 8 $$

2. $f(2)=1-f(1)$ के लिए:

$$ |1-f(1)| \leq 8 \quad \Rightarrow \quad-8 \leq 1-f(1) \leq 8 $$

इससे प्राप्त होता है:

$$ -9 \leq f(1) \leq 7 $$

3. $f(3)=2 f(1)$ के लिए:

$$ |2 f(1)| \leq 8 \quad \Rightarrow \quad-4 \leq f(1) \leq 4 $$

4. $f(4)=3-6 f(1)$ के लिए:

$$ |3-6 f(1)| \leq 8 \quad \Rightarrow \quad-8 \leq 3-6 f(1) \leq 8 $$

इससे प्राप्त होता है:

$$ -11 \leq-6 f(1) \leq 5 \quad \Rightarrow \quad-\frac{11}{6} \leq f(1) \leq \frac{5}{6} $$

चरण 6: बंधनों को संयोजित करें बंधनों से हमें प्राप्त होता है:

$$ -\frac{11}{6} \leq f(1) \leq \frac{5}{6} $$

क्योंकि $f(1)$ एक पूर्णांक होना चाहिए, तो $f(1)$ के संभावित मान 0 और 1 हैं।

चरण 7: $f(2), f(3), f(4)$ के संगत मान निर्धारित करें

1. यदि $f(1)=0$:

$$ \begin{aligned} & f(2)=1 \ & f(3)=0 \ & f(4)=3 \end{aligned} $$

2. यदि $f(1)=1$:

$$ \begin{aligned} & f(2)=0 \ & f(3)=2 \ & f(4)=-3 \end{aligned} $$

निष्कर्ष इसलिए, दिए गए शर्तों को संतुष्ट करने वाले $\mathbf{2}$ फंक्शन हैं। अंतिम उत्तर फंक्शन $f$ की संख्या $\mathbf{2}$ है।