उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: फंक्शन पर ऑपरेशन , फंक्शन की परिसर

फंक्शन $f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}$ की परिसर ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कदम अपनाएं:

कदम 1: प्रांत निर्धारित करें फंक्शन में वर्गमूल हैं, इसलिए वर्गमूल के अंदर के व्यंजक गैर-ऋणात्मक होने चाहिए।

1. $\sqrt{3-x}$ के लिए:

$$ 3-x \geq 0 \Longrightarrow x \leq 3 $$

2. $\sqrt{2+x}$ के लिए:

$$ 2+x \geq 0 \Longrightarrow x \geq-2 $$

इन असमानताओं को मिलाने पर, $f(x)$ का प्रांत है:

$$ -2 \leq x \leq 3 $$

कदम 2: महत्वपूर्ण बिंदु खोजें फंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए, $f(x)$ का अवकलज लें और उसे शून्य के बराबर करें।

1. $f(x)$ का अवकलज लें:

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}(\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}) $$

चैन नियम का उपयोग करें:

$$ f^{\prime}(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{3-x}}+\frac{1}{2 \sqrt{2+x}} $$

2. $f^{\prime}(x)=0$ के बराबर करें:

$$ \frac{-1}{2 \sqrt{3-x}}+\frac{1}{2 \sqrt{2+x}}=0 $$

सरलीकरण:

$$ \frac{1}{\sqrt{2+x}}=\frac{1}{\sqrt{3-x}} $$

दोनों ओर वर्ग करें:

$$ 2+x=3-x $$

$x$ के लिए हल करें:

$$ 2 x=1 \Longrightarrow x=\frac{1}{2} $$

कदम 3: महत्वपूर्ण बिंदु और सीमा पर $f(x)$ का मूल्यांकन करें $x=-2$, $x=\frac{1}{2}$ और $x=3$ पर $f(x)$ का मूल्यांकन करें।

1. $x=-2$ पर:

$$ \begin{gathered} f(-2)=\sqrt{3-(-2)}+\sqrt{2+(-2)}=\sqrt{5}+\sqrt{0} \ =\sqrt{5} \end{gathered} $$

2. $x=\frac{1}{2}$ पर:

$$ \begin{gathered} f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3-\frac{1}{2}}+\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}} \ =2 \times \sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10} \end{gathered} $$

3. $x=3$ पर:

$$ f(3)=\sqrt{3-3}+\sqrt{2+3}=\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{5} $$

कदम 4: परिसर निर्धारित करें मूल्यांकन से, $f(x)$ का न्यूनतम मूल्य $\sqrt{5}$ और अधिकतम मूल्य $\sqrt{10}$ है।

इसलिए, $f(x)$ की परिसर है:

$$ [\sqrt{5}, \sqrt{10}] $$