उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: फंक्शन पर ऑपरेशन

दिया गया है $x \geq 2$

$ S_x= f(1)+2 f(2)+\ldots \ldots+xf(x)=x(x+1) f(x) \quad \ldots (i) $

$ x $ को $x+1$ से बदल दें

$ \begin{aligned} & S_{(x+1)} = f(1)+2f(2)+ \ldots + xf(x)+(x+1)f(x+1)=(x+1)(x+2) f(x+1) \\ & S_{(x+1)} = S_x+(x+1)f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)\\ & \Rightarrow \ x(x+1) f(x)+(x+1) f(x+1) =(x+1)(x+2) f(x+1) \\ & \Rightarrow \ x(x+1) f(x)=(x+1)((x+2)-1) f(x+1) \\ & \Rightarrow \ xf(x) = (x+1)f(x+1)\\ & \Rightarrow \quad f(x)=(x+1) f(x+1), x \geq 2 \\ & \dfrac{f(x)}{f(x+1)}= \dfrac{x+1}{x}\\ & \Rightarrow \ f(x) = \dfrac{k}{x} \quad \ldots (ii) \end{aligned} $

(1) और (2) में $x=2$ रखें

$f(1)+2f(2)= 2 \times 3 \times f(2)$

$1+2f(2)-6f(2)=0 \qquad [\because f(1)=1]$

$f(2)= \dfrac{1}{4}$ और $f(2)= \dfrac{k}{2}$

$\Rightarrow \ \dfrac{1}{4} = \dfrac{k}{2}$

$\Rightarrow \ k= \dfrac{1}{2}$

$\therefore \ f(x)= \dfrac{1}{2x}$

अब $f(2022)=\dfrac{1}{4044}$

$ f(2028)=\dfrac{1}{4056} $

इसलिए, $\dfrac{1}{f(2022)}+\dfrac{1}{f(2028)}=4044+4056=8100$