एलिप्स के प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 01 फरवरी - शिफ्ट 2
रेखा $x=8$ एलिप्स $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के फोकस $(2,0)$ के संगत अक्षर रेखा है। यदि एलिप्स $E$ पर बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा पहले चतुर्थांश में है और बिंदु $(0,4 \sqrt{3})$ से गुजरती है और $x$-अक्ष को $Q$ पर काटती है, तो $(3 PQ)^{2}$ किसके बराबर है ________
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उत्तर: 39
समाधान:
सूत्र: स्पर्श रेखा का समीकरण (पैरामेट्रिक रूप) , दूरी सूत्र
$\frac{a}{e}=8 \ldots \ldots \ldots(1)$
$ ae=2 \ldots \ldots \ldots(2)$
(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं,
$8 e=\frac{2}{e}$
$e^{2}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$a=4$
$b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$
$=16(\frac{3}{4})=12$
$\frac{x \cos \theta}{4}+\frac{y \sin \theta}{2 \sqrt{3}}=1$
$\sin \theta=\frac{1}{2}$
$\theta=30^{\circ}$
$P(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$
$Q(\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$
$(3 PQ)^{2}=9P^{2}Q^{2}$
बीटा
