एलिप्स के प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
यदि एलिप्स $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, b<2$ के अभिलम्ब के उत्पत्ति से अधिकतम दूरी 1 है, तो एलिप्स की उत्केंद्रता है:
(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{\sqrt{3}}{4}$
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: अभिलम्ब का समीकरण (पैरामेट्रिक रूप) , बिंदु और रेखा के बीच दूरी
अभिलम्ब का समीकरण है
$2 x \sec \theta-b\cdot y $ $ cosec \theta=4-b^{2}$
उत्पत्ति (0,0) से दूरी है
$\frac{4-b^{2}}{\sqrt{4 \sec ^{2} \theta+b^{2} cosec^{2} \theta}}$
दूरी अधिकतम होगी यदि $4 \sec ^{2} \theta+b^{2} cosec^{2} \theta$ न्यूनतम हो
$\Rightarrow \tan ^{2} \theta=\frac{b}{2}$
$\Rightarrow \frac{4-b^{2}}{\sqrt{4 \cdot \frac{b+2}{2}+b^{2} \cdot \frac{b+2}{b}}}=1$
$\Rightarrow 4-b^{2}=b+2 \Rightarrow b=1 $
$\Rightarrow e=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ एलिप्स की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
बीटा
