उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: स्पर्श रेखा का समीकरण (कार्तीय रूप) , समांतर रेखाओं की शर्त , त्रिभुज का क्षेत्रफल

$ y^2=3 x $

स्पर्श रेखा $P\left(x_1, y_1\right)$, रेखा $x+2 y=1$ के समांतर है

तब $P$ पर ढलान $-\frac{1}{2}$ है

$ \begin{aligned} & 2 y \frac{dy}{dx}=3 \\ & \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2 y}=-\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow y_1=-3 \end{aligned} $

$P$ के निर्देशांक $ (3,-3) $

इसी तरह $Q\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), R\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{-1}{\sqrt{5}}\right)$

त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} 3 & -3 & 1 \\ \frac{4}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 1 \\ -\frac{4}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} & 1 \end{array}\right| \\ & =\frac{1}{2}\left[3\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)+3\left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)+0\right]=\frac{30}{2 \sqrt{5}}=3 \sqrt{5} \end{aligned} $

$\therefore$ त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $3 \sqrt{5}$ है