उत्तर: 7

समाधान:

सूत्र: स्पर्श रेखा का समीकरण (कार्तीय रूप) , दूरी सूत्र

दिया गया वक्र,

$ \begin{aligned} & 9 x^2+16 y^2=144 \\ & \Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \\ & \Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1 \\ & \therefore a=4 \text { और } b=3 \end{aligned} $

इसलिए, एलिप्स पर सामान्य बिंदु है $ (4 \cos \theta, 3 \sin \theta) $

हम जानते हैं, एलिप्स के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है

$ \frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1 $

$\therefore$ बिंदु $(4 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण है $ \frac{x \cos \theta}{4}+\frac{y \sin \theta}{3}=1 $

जब यह स्पर्श रेखा $x$ अक्ष को काटती है तो $y=0$. $ \begin{aligned} & \therefore \frac{x \cos \theta}{4}+0=1 \\ & \Rightarrow x=4 \sec \theta \end{aligned} $

$\therefore$ $x$ अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु $A(4 \sec \theta, 0)$ है।

जब यह स्पर्श रेखा $y$ अक्ष को काटती है तो $x=0$.

$ \begin{aligned} & \therefore 0+\frac{y \sin \theta}{3}=1 \\ & \Rightarrow y=3 \operatorname{cosec} \theta \end{aligned} $

$\therefore$ $y$ अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु $B(0,3 \operatorname{cosec} \theta)$ है।

$\therefore$ $AB$ की लंबाई

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(4 \sec \theta-0)^2+(0-3 \operatorname{cosec} \theta)^2} \\ & =\sqrt{16 \sec ^2 \theta+9 \operatorname{cosec}^2 \theta} \\ & =\sqrt{16\left(1+\tan ^2 \theta\right)+9\left(1+\cot ^2 \theta\right)} \\ & =\sqrt{25+16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta} \end{aligned} $

हम जानते हैं, $A M \geq G M$

$ \begin{aligned} & \therefore \frac{16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta}{2} \geq \sqrt{\left(16 \tan ^2 \theta\right)\left(9 \cot ^2 \theta\right)} \\ & \Rightarrow 16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta \geq 2(4 \tan \theta)(3 \cot \theta) \\ & \Rightarrow 16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta \geq 2 \times 4 \times 3 \\ & \Rightarrow 16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta \geq 24 \\ & \therefore A B=\sqrt{25+16 \tan ^2 \theta+9 \cot ^2 \theta} \\ & \geq \sqrt{25+24} \\ & \geq \sqrt{49} \\ & \geq 7 \end{aligned} $

$\therefore$ $A B$ की न्यूनतम लंबाई $7$ है।