उत्तर: (2)

समाधान:

सूत्र: यदि $f $ और $ g $ $x$ के फलन हैं जैसे कि $g^{\prime}(x) = f(x) $ तो , अवकलज के अनुक्रमित अवकलन

$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x $ …..$(1)$

$f^{\prime}(1)=4 g^{\prime}(1)-3=9 $ …..$(2)$

$f(2)=3 g(2)=12 $ …..$(3)$

(1) को एकत्रित करने पर

$ f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+6 \frac{x^{2}}{2}+C $

$x=1$ पर,

$ f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)+3+C $

$\Rightarrow 9=4+3+C \Rightarrow C=3$

$\therefore f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+3 x^{2}+3$

फिर एकत्रित करने पर,

$f(x)=g(x)+\frac{3 x^{3}}{3}+3 x+D$

$x=2$ पर,

$f(2)=g(2)+8+3(2)+D$

$\Rightarrow 12=4+8+6+D \Rightarrow D=-6$

इसलिए, $f(x)=g(x)+x^{3}+3 x-6$

$\Rightarrow f(x)-g(x)=x^{3}+3 x-6$

$x=-2$ पर,

$\Rightarrow g(-2)-f(-2)=20 \quad$ (विकल्प (1) सही है)

अब, $-1<x<2$ के लिए

$h(x)=f(x)-g(x)=x^{3}+3 x-6$

$\Rightarrow h^{\prime}(x)=3 x^{2}+3$

$\Rightarrow h(x) \uparrow$

इसलिए, $h(-1)<h(x)<h(2)$

$\Rightarrow-10<h(x)<8$

$\Rightarrow|h(x)|<10 \quad$ (विकल्प (2) सही नहीं है)

अब, $h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)=3 x^{2}+ 3$

यदि $|h^{\prime} (x) | < 6 \Rightarrow | 3x^2 + 3|<6$

$\Rightarrow 3 x^2 + 3 <6$

$\Rightarrow x^2 < 1$

$-1 < x < 1$ (विकल्प (3) सही है)