उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

दिया गया है, $\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{3x^5\tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{\frac{3}{2}}}y=2x\exp\left(\dfrac{x^3-\tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}}\right)$

मान लीजिए $\tan ^{-1}\left(x^3\right)=t$.

$ \begin{aligned} &\displaystyle \frac{1}{1+x^6} \cdot\left(3 x^2\right) \cdot d x=d t \ & I F=e^{\displaystyle -\int \frac{d t t \cdot \tan t}{\sec t}} \end{aligned} $

$\begin{aligned} \displaystyle & I F=e^{\displaystyle -\int t \cdot \sin t \cdot d t} \ & I F=e^{t \cos t-\sin t} =\exp \cdot\left(\frac{\tan ^{-1} x^3}{\sqrt{1+x^6}} \cdot-\frac{x^3}{\sqrt{1+x^6}}\right)\end{aligned}$

$\displaystyle =e^{\dfrac{\tan ^{-1} x^{3}-x^{3}}{\sqrt{1+x^{6}}}}$

अवकल समीकरण का हल

$\displaystyle y \cdot e^{\dfrac{\tan ^{-1} x^{3}-x^{3}}{\sqrt{1+x^{6}}}}=\int 2 x e^{(\dfrac{x^{3}-\tan ^{-1} x^3}{\sqrt{1+x^{6}}})} \cdot e^{(\dfrac{\tan ^{-1}(x^{3})-x^{3}}{\sqrt{1+x^{6}}})} d x$

$\displaystyle =\int 2 xdx+c$

$\displaystyle y \cdot e^{\dfrac{\tan ^{-1} x^{3}-x^{3}}{\sqrt{1+x^{6}}}}=x^{2}+c$

इसके अतिरिक्त यह मूलबिंदु से गुजरता है

$c=0$

$\displaystyle y(1) \cdot e^{\dfrac{\tan ^{-1}(1)-1}{\sqrt{2}}}=1$

$\displaystyle y(1) \cdot e^{\dfrac{\dfrac{\pi}{4}-1}{\sqrt{2}}}=1$

$\displaystyle y(1) \cdot e^{\dfrac{\pi-4}{4 \sqrt{2}}}=1$

$\displaystyle y(1)=\dfrac{1}{e^{\dfrac{\pi-4}{4 \sqrt{2}}}}=e^{\dfrac{4-\pi}{4 \sqrt{2}}}$