उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

$\displaystyle x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^{2} \log _e x,(x>1)$.

$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x \ln x}=x$

रैखिक अवकल समीकरण

I.F. $\displaystyle =e^{\int \frac{1}{x \ln x} d x}=|\ln x| = \ln x \qquad \left(\because x > 1 \Rightarrow \ln x > 0 \Rightarrow |\ln x | = \ln x \right)$

$\therefore$ अवकल समीकरण का हल

$\displaystyle y \ln x=\int x \ln x d x$

$\displaystyle =\ln x \frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} d x$

$\displaystyle \Rightarrow y\ln x=\ln x(\frac{x^{2}}{2})-\frac{x^{2}}{4}+c$

स्थिरांक के लिए

$\displaystyle y(2)=2 \Rightarrow c=1$

इसलिए, $\displaystyle y(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{4\ln x}+\frac{1}{\ln x}$

इसलिए, $\displaystyle y(e)=\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}+1=1+\frac{e^{2}}{4}$