अवकल समीकरण प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 25 जनवरी - शिफ्ट 2
मान लीजिए $y=y(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ का हल है
जहाँ, $\alpha>0, \beta>0$ और $\gamma>0$ है। तब $Lim _{t \to \infty} y(t)$
(1) 0 है
(2) अस्तित्व नहीं रखता
(3) 1 है
(4) -1 है
उत्तर दिखाएं
उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण
$\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$
I.F. $=e^{\int \alpha dt}=e^{\alpha t}$
हल $\Rightarrow y \cdot e^{\alpha t}=\int \gamma e^{-\beta t} \cdot e^{\alpha t} d t$
$\Rightarrow ye^{\alpha t}=\gamma \frac{e^{(\alpha-\beta) t}}{(\alpha-\beta)}+c$
$\Rightarrow y=\frac{\gamma}{e^{\beta t}(\alpha-\beta)}+\frac{c}{e^{\alpha t}}$
इसलिए, $\lim _{t \to \infty} y(t)=\frac{\gamma}{\infty}+\frac{c}{\infty}=0$
बीटा
