अवकल समीकरण प्रश्न 3
प्रश्न 3 - 25 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}(1+x y^{2}(1+\log _e x))$ के हल वक्र हो,
$x>0, y(1)=3$. तब $\frac{y^{2}(x)}{9}$ किसके बराबर है:
(1) $\frac{x^{2}}{5-2 x^{3}(2+\log _e x^{3})}$
(2) $\frac{x^{2}}{2 x^{3}(2+\log _e x^{3})-3}$
(3) $\frac{x^{2}}{3 x^{3}(1+\log _e x^{2})-2}$
(4) $\frac{x^{2}}{7-3 x^{3}(2+\log _e x^{2})}$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण (बर्नूली के समीकरण)
$ \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=y^{3}(1+\log _e x) $
$\frac{1}{y^{3}} \frac{dy}{dx}-\frac{1}{xy^{2}}=1+\log _e x$
मान लीजिए $-\frac{1}{y^{2}}=t \Rightarrow \frac{2}{y^{3}} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$
$\therefore \frac{dt}{dx}+\frac{2 t}{x}=2(1+\log _e x)$
I.F. $=e^{\int \frac{2}{x} d x}=x^{2}$
$\frac{-x^{2}}{y^{2}}=\frac{2}{3}((1+\log _e x) x^{3}-\frac{x^{3}}{3})+C$
$y(1)=3$
$\frac{y^{2}}{9}=\frac{x^{2}}{5-2 x^{3}(2+\log _e x^{3})}$
बीटा
