अवकल समीकरण प्रश्न 11
प्रश्न 11 - 01 फरवरी - विस्थापन 2
मान लीजिए $\alpha x=\exp (x^{\beta} y^{\gamma})$ अवकल समीकरण $2 x^{2} y$ dy $-(1-x y^{2}) d x=0$ का हल है, $x>0, y(2)=\sqrt{\log _e 2}$. तो $\alpha+\beta-\gamma$ के बराबर है:
(1) 1
(2) -1
(3) 0
(4) 3
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उत्तर: (1)
सूत्र: रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण (बर्नूली के समीकरण)
$ \begin{aligned} & \alpha x=e^{x^\beta \cdot y^\gamma} \\ & 2 x^2 y \frac{dy}{dx}=1-x \cdot y^2 \\ & \text{रखिए} \ y^2=t \\ & x^2 \frac{dt}{dx}=1-xt \\ & \frac{dt}{dx}+\frac{t}{x}=\frac{1}{x^2} \\ & \text { I.F. }=e^{\ln x}=x \\ & t(x)=\int \frac{1}{x^2} \cdot x d x \\ & y^2 \cdot x=\ln x+C \\ & \therefore 2 . \ln 2=\ln 2+C \\ & \therefore C=\ln 2 \\ \end{aligned} $
अतः, $xy^2=\ln 2 x$
$ \therefore 2 x=e^{x \cdot y^2} $
अतः $\alpha=2, \beta=1, \gamma=2$
बीटा
