अवकल समीकरण प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 24 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{3} d y+(x y-1) d x=0, x>0$ का हल है, $y(\frac{1}{2})=3-e$। तब $y(1)$ किसके बराबर है?
(1) 1
(2) e
(3) 2-e
(4) 3
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}=\frac{1-x y}{x^{3}}=\frac{1}{x^{3}}-\frac{y}{x^{2}}$
$\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{1}{x^{3}}$
IF $=e^{\int \frac{1}{x^{2}} d x}=e^{-\frac{1}{x}}$
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}}=\int e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x(.$ put $.-\frac{1}{x}=t)$
$y . e^{-\frac{1}{x}}=-\int e^{t} \cdot t d t$
$y=\frac{1}{x}+1+Ce^{\frac{1}{x}}$
जहाँ $C$ अचर है
$ x=\frac{1}{2} $ के लिए रखें
$3-e=2+1+Ce^{2}$
$C=-\frac{1}{e}$
$y(x) = \frac{1}{x}+1-\frac{1}{e} e^{\frac{1}{x}}$
$y(1) = 1+1-\frac{1}{e}e$
$y(1)=1$
बीटा
