निश्चालक प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 01 फरवरी - शिफ्ट 2
रैखिक समीकरणों के तंत्र $\alpha x+y+z=1$, $x+ \alpha y+z=1, x+y+\alpha z=\beta$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?
(1) यदि $\alpha=2$ और $\beta=-1$ हो तो इसके अपरिमित कई हल होते हैं
(2) यदि $\alpha=-2$ और $\beta=1$ हो तो इसके कोई हल नहीं होते हैं
(3) यदि $\alpha=2$ और $\beta=1$ हो तो $x+y+z=\frac{3}{4}$
(4) यदि $\alpha=1$ और $\beta=1$ हो तो इसके अपरिमित कई हल होते हैं
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: तीन चर वाले समीकरण तंत्र , हल के संगतता , अद्वितीय हल
$ \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha\end{vmatrix} =0$
$\alpha(\alpha^{2}-1)-1(\alpha-1)+1(1-\alpha)=0$
$\alpha^{3}-3 \alpha+2=0$
$\alpha^{2}(\alpha-1)+\alpha(\alpha-1)-2(\alpha-1)=0$
$(\alpha-1)(\alpha^{2}+\alpha-2)=0$
$\alpha=1, \alpha=-2,1$
$\alpha=1, \beta=1$ के लिए
$.\begin{matrix} x+y+z=1 \\ x+y+z=1\end{matrix} $ अपरिमित कई हल
$\alpha=2, \beta=1$ के लिए
$\Delta=4$
$$ \begin{array}{ll} \Delta_1=\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right| \begin{array}{c} =3-1-1 \\ =1 \end{array} & \Rightarrow x=\frac{1}{4} \\ \Delta_2=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right|=2-1=1 & \Rightarrow y=\frac{1}{4} \\ \Delta_3=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|=2-1=1 & \Rightarrow z=\frac{1}{4} \end{array} $$
$\alpha=2 \Rightarrow$ अद्वितीय हल
$\therefore \ $ विकल्प (1) गलत है।
बीटा
