Determinants Question 7
Question 7 - 01 February - Shift 1
рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП $S$ рд╡рд╣ рд╕рдореБрдЪреНрдЪрдп рд╣реИ рдЬрд┐рд╕рдореЗрдВ рд╕рднреА рд╡рд╛рд╕реНрддрд╡рд┐рдХ рдорд╛рди $\lambda$ рд╢рд╛рдорд┐рд▓ рд╣реИрдВ рдЬрд┐рдирдХреЗ рд▓рд┐рдП рд╕рдореАрдХрд░рдг рдирд┐рдХрд╛рдп
$\lambda x+y+z=1$
$x+\lambda y+z=1$
$x+y+\lambda z=1$
рдЕрд╕рдВрдЧрдд рд╣реЛрддрд╛ рд╣реИ, рддреЛ $\sum _{\lambda \in S}(|\lambda|^{2}+|\lambda|)$ рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИ
(1) 2
(2) 12
(3) 4
(4) 6
Show Answer
Answer: (4)
Solution:
Formula: System of equations with 3 variables , consistency of solutions: inconsistent system
$ \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix} =0$
$(\lambda+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix} =0$
$(\lambda+2)[1(\lambda^{2}-1)-1(\lambda-1)+(1-\lambda)]=0$
$(\lambda+2)[(\lambda^{2}-2 \lambda+1)=0.$
$(\lambda+2)(\lambda-1)^{2}=0 \Rightarrow \lambda=-2, \lambda=1$
$\lambda=1$ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рд╕рдореАрдХрд░рдг рдирд┐рдХрд╛рдп рдЕрдкрд░рд┐рдорд┐рдд рд╣рд▓ рд░рдЦрддрд╛ рд╣реИ, рдЕрд╕рдВрдЧрдд рд╕рдореАрдХрд░рдг рдХреЗ рд▓рд┐рдП $\lambda=-2$
рдЗрд╕рд▓рд┐рдП $\sum _{\lambda \in S}(|\lambda|^{2}+|\lambda|)=6$
рдмреАрдЯрд╛
