उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: तीन चर वाले समीकरण प्रणाली , हल के संगतता: अपरिमित रूप से अनेक हल

समीकरण 1 और 3 से

$ y+2 z=8 $

$ y=8-2 z $

और $\quad x=-2+z$

अब समीकरण 2 में रखने पर

$\alpha(z-2)+\beta(-2 z+8)+7 z=3$

$\Rightarrow(\alpha-2 \beta+7) z=2 \alpha-8 \beta+3$

अतः यदि

$\alpha-2 \beta+7 \neq 0$

तो समीकरण अद्वितीय हल रखती है

और यदि

$\alpha-2 \beta+7=0$ और $2 \alpha-8 \beta+3 \neq 0$

तो समीकरण कोई हल नहीं रखती है

और यदि

$\alpha-2 \beta+7=0$ और $2 \alpha-8 \beta+3=0$

तो समीकरण अपरिमित रूप से अनेक हल रखती है

विकल्प (1) यदि $\alpha =7, \ \beta = 7$ तो

$\alpha - 2 \beta - 7 =0 $ and $\ 2 \alpha - 8 \beta +3 \neq 0$

$\Rightarrow \ $ समीकरण कोई हल नहीं रखती है

$\therefore \ $ विकल्प (1) सही है।

विकल्प (2) यदि $\alpha = \beta , \ \alpha \neq 7$

$\Rightarrow \ \beta \neq 7$

$\Rightarrow \ \alpha - 2 \beta +7 \neq 0$

अतः समीकरण अद्वितीय हल रखती है

$\therefore \ $ विकल्प (2) सही है।

विकल्प (3) $\alpha -2 \beta +7 =0 \quad \ldots (iv)$

$2 \alpha -8 \beta +3 = 0 \quad \ldots (v)$

समीकरण (iv) और (v) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \ \alpha = \frac{-25}{2} , \ \beta = \frac{-11}{4}$

रेखा $x+2y+18 = 0$

$-\frac{25}{2}-\frac{11}{2}+18 \neq 0$

$\therefore \ $ समीकरण अपरिमित रूप से अनेक हल रखती है।

विकल्प (4) मान लीजिए $(\alpha , \beta) = (3,5)$ रेखा $x-2y+7 = 0$ पर स्थित है

$\Rightarrow \ \alpha - 2 \beta +7 =0 \ $ and $ \ 2 \alpha - 8 \beta +3 = 6-40+3 \neq 0$

$\Rightarrow \ $ समीकरण कोई हल नहीं रखती है

$\therefore \ $ विकल्प (4) गलत है।