निश्चालक प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 30 जनवरी - विस्थापन 2
मान लीजिए $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, तो रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित प्रणाली
$\mathbf{x}-y+z=5$
$2 x+2 y+\alpha z=8$
$3 x-y+4 z=\beta$
के अपरिमित बहुत से हल होते हैं। तब $\alpha$ और $\beta$ निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण के मूल हैं?
(1) $x^{2}-10 x+16=0$
(2) $x^{2}+18 x+56=0$
(3) $x^{2}-18 x+56=0$
(4) $x^{2}+14 x+24=0$
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: 3 चर वाले समीकरण प्रणाली , हल के संगतता , निश्चालक के मूल्यांकन
$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & \alpha \\ 3 & -1 & 4\end{vmatrix} =0 $
$\Rightarrow \ 1(8+\alpha)-2(-4+1)+3(-\alpha-2)=0$
$\Rightarrow \ 8+\alpha+6-3 \alpha-6=0$
$\Rightarrow \ \alpha=4$
साथ ही, अपरिमित हल के लिए,
$ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 2 & 2 & 8 \\ 3 & -1 & \beta\end{vmatrix}=0 \\ & \Rightarrow 5(-2-6) - 8(-1+3)+\beta(2+2)=0 \\ & \Rightarrow 4 \beta=40+16=56 \\ & \Rightarrow \beta=14 \\ & \therefore \alpha+\beta=4+14=18 \\ & \& \alpha \beta=4 \times 14=56 \end{aligned} $
$\therefore$ जिस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha $ and $ \beta$ हैं, वह है $ x^2-18 x+56=0 $
बीटा
