निश्चित समाकलन प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 25 जनवरी - विस्थापन 2
यदि $\int _{\frac{1}{3}}^{3}|\log _e x| dx=\frac{m}{n} \log _e(\frac{n^{2}}{e})$, जहाँ $m$ और $n$ सह-सम्पूरक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो $m^{2}+n^{2}-5$ किसके बराबर है?
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उत्तर: 20
समाधान:
सूत्र: मापदंड के गुण , भाग विधि समाकलन , लघुगणक फलन के गुण
$\int _{\frac{1}{3}}^{3}|\ln x| dx=\int _{\frac{1}{3}}^{1}(-\ln x) dx+\int_1^{3}(\ln x) dx$
$=-[x \ln x-x] _{1 / 3}^{1}+[x \ln x-x]_1^{3}$
$=-[-1-(\frac{1}{3} \ln \frac{1}{3}-\frac{1}{3})]+[3 \ln 3-3-(-1)]$
$=[-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} \ln \frac{1}{3}]+[3 \ln 3-2]$
$=-\frac{4}{3}+\frac{8}{3} \ln 3$
$=\frac{4}{3}(2 \ln 3-1)$
$=\frac{4}{3}(\ln \frac{9}{e})$
$=\frac{m}{n} \log _e(\frac{n^{2}}{e})$
तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है
$\therefore m=4, n=3$
अब, $m^{2}+n^{2}-5=16+9-5=20$
बीटा
