निश्चित समाकलन प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 25 जनवरी - शिफ्ट 1
फलन $f(x)=\int_0^{2} e^{|x-t|} d t$ का न्यूनतम मान है
(1) $2(e-1)$
(2) $2 e-1$
(3) 2
(4) $e(e-1)$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: निश्चित समाकलन के गुणों , मापांक फलन के गुणों , बढ़ते और घटते फलन की शर्त , माध्यों के बीच संबंध , समाकलन फलन के गुणों
$ x \leq 0 $ के लिए
$ f(x)=\int_0^{2} e^{t-x} d t=e^{-x}(e^{2}-1) $
$ 0<x<2 $ के लिए
$ f(x)=\int_0^{x} e^{x-t} d t+\int_x^{2} e^{t-x} d t=e^{x t}+e^{2-x}-2 $
$ x \geq 2 $ के लिए
$ f(x)=\int_0^{2} e^{x-t} d t=e^{x-2}(e^{2}-1) $
$ x \leq 0 $, $ f(x) $ घटता है और $ x \geq 2 $, $ f(x) $ बढ़ता है
अतः $ f(x) $ का न्यूनतम मान $ x \in(0,2) $ में होता है
A.M $\geq$ G.M के अनुसार
$ f(x) $ का न्यूनतम मान $ 2(e-1) $ है
बीटा
