उत्तर: 27

समाधान:

सूत्र: लेब्निज सूत्र , समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन , अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र

$f(x)+\int_0^{x} f(t) \sqrt{1-(\log _e f(t))^{3}} d t=e$

$\Rightarrow f(0)=e$

$f^{\prime}(x)+f(x) \sqrt{1-(\ln f(x))^{2}}=0$

$f(x)=y$

$\frac{d y}{d x}=-y \sqrt{1-(\ln y)^{2}}$

$\int \frac{d y}{y \sqrt{1-(\ln y)^{2}}}=-\int dx$

$\ln y=t$ रखें

$\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=-x+C$

$\Rightarrow \ \sin ^{-1} t=-x+C $

$\Rightarrow \sin ^{-1}(\ln y)=-x+C$

$\Rightarrow \ \sin ^{-1}(\ln f(x))=-x+C$

$f(0)=e$

$\Rightarrow \frac{\pi}{2}=C$

$\Rightarrow \sin ^{-1}(\ln f(x))=-x+\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \sin ^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6}))=\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \sin ^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6}))=\frac{\pi}{3}$

$\Rightarrow \ln f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, हमें $ 6 \times \ln f\left(\frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow \left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=27$.