उत्तर: 13

समाधान:

सूत्र: निश्चित समाकलन के गुणधर्म , त्रिकोणमितीय त्रिकोणमितीय अनुपात

$ I=\int_0^{\pi} \dfrac{5^{\cos x}(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x)}{1+5^{\cos x}} d x \ldots (1)$

$ I=\int_0^{\pi} \dfrac{5^{-\cos x}(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x)}{1+5^{-\cos x}} d x \ldots (2)$

$ \text{समीकरण (1) और (2) को जोड़कर} $

$2I = \int _{0}^{\pi} \left( \dfrac{5^{\cos x}}{1+5^{\cos x}}+\dfrac{5^{- \cos x}}{1+5^{-\cos x}}\right)(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x$

$2I = \int _{0}^{\pi} \left(\dfrac{5^{\cos x}(1+5^{-\cos x})+ 5^{-\cos x}(1+5^{\cos x})}{(1+5^{\cos x})(1+5^{-\cos x})} \right)(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x$

$2I = \int _{0}^{\pi} \left( \dfrac{5^{\cos x}+5^{0}+5^{-\cos x }+5^{0}}{1+5^{-\cos x}+5^{\cos x}+5^{0}}\right)(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x$

$2I = \int _{0}^{\pi} \left( \dfrac{2+ 5^{\cos x}+5^{-\cos x}}{2+5^{\cos x}+5^{-\cos x}}\right)(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x$

$ 2 I=\int_0^{\pi}(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x $

$ \not 2 I=\not 2 \int_0^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x $

$ I= \int_0^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos x \cos 3 x+\cos ^{2} x+\cos ^{3} x \cos 3 x) d x \ldots (3) $

$ I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\sin x(-\sin 3 x)+\sin ^{2} x-\sin ^{3} x \sin 3 x) d x \ldots (4)$

$ \text{समीकरण (3) और (4) को जोड़कर}$

$ 2 I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}(3+\cos 4 x+\cos ^{3} x \cos 3 x-\sin ^{3} x \sin 3 x) d x $

$ 2 I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} 3+\cos 4 x+(\dfrac{\cos 3 x+3 \cos x}{4}) \cos 3 x-\sin 3 x(\dfrac{3 \sin x-\sin 3 x}{4}) d x $

$ 2 I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}(3+\cos 4 x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} \cos 4 x) d x $

$ 2 I=\dfrac{13}{4} \times \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{7}{4}(\dfrac{\sin 4 x}{4})_0^{\dfrac{\pi}{2}} $

$ \Rightarrow I=\dfrac{13 \pi}{16}=\dfrac{k \pi}{16}$

तुलना करने पर, हमें $k=13$ मिलता है