उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन , द्विगुणित कोण पहचानें , निश्चित समाकलन के गुणधर्म

$ I=\int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x \ldots (1) $

$ x $ को $ -x $ से बदलें $ \Rightarrow dx \to -dx $

$I= \int _{\pi/4}^{-\pi/4} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2- \cos (2x)}(-dx) \qquad [\because \cos(-2x) = \cos 2x]$

$I= - \int _{\pi /4}^{-\pi/4} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2- \cos 2x} dx$

$ I=\int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{-x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x \ldots (2) $

(1) और (2) को जोड़ें

$ 2 I=\int _{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{2}}{2-\cos 2 x} d x $

$I=\frac{\pi}{4} \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{2-\cos 2 x} dx, \quad$ निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए

$I = \frac{\pi}{2} \int _{0}^{\pi /4} \frac{dx}{2- \frac{(1-\tan^2 x)}{(1+\tan^2 x)}} \qquad [\because \cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}]$

$ \begin{aligned} & I=\frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1+\tan ^{2} x) dx}{2(1+\tan ^{2} x)-(1-\tan ^{2} x)} \\ &I=\frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sec ^{2} x) dx}{3\tan ^{2} x+1}\\ & I=\frac{\pi}{2} \int_0^{1} \frac{dt \text{}}{3 t^{2}+1} \quad [\text{substituting} \ \tan x =t \Rightarrow \sec^2 x dx = dt]\\ &= \frac{\pi}{2 \cdot 3} \int _{0}^{1} \frac{dt}{t^2+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2} \\ & = \frac{\pi}{6} \times \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left[ \tan^{-1} \left(\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)\right] _{0}^{1} \\ & =\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \left[\tan^{-1} (\sqrt{3}x)\right] _{0}^{1} \\ & \Rightarrow I=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \tan ^{-1} \sqrt{3} \\ & = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\pi}{3} \\ & I=\frac{\pi^{2}}{6 \sqrt{3}} \end{aligned} $