निश्चित समाकलन प्रश्न 21
प्रश्न 21 - 01 फरवरी - शिफ्ट 1
$\lim _{n \to \infty}(\frac{1}{1+n}+\frac{1}{2+n}+\frac{1}{3+n}+\ldots+\frac{1}{2 n})$ के बराबर है :-
(1) 0
(2) $\log _e 2$
(3) $\log _e(\frac{3}{2})$
(4) $\log _e(\frac{2}{3})$
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: निश्चित समाकलन के रूप में योग की सीमा , अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र
$ \begin{aligned} &L= \lim _{n \to \infty}(\frac{1}{1+n}+\ldots+\frac{1}{n+n})\\ & L=\lim _{n \to \infty} \sum _{r=1}^{n} \frac{1}{n+r} \\ & L=\lim _{n \to \infty} \sum _{r=1}^{n} \frac{1}{n}(\frac{1}{1+\frac{r}{n}}) \\ & L=\int_0^{1} \frac{1}{1+x} d x=[\ln |(1+x)|]_0^{1} \\ & L = \log _e 2 \end{aligned} $
बीटा
