निश्चित समाकलन प्रश्न 18
प्रश्न 18 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $\alpha \in(0,1)$ और $\beta=\log _e(1-\alpha)$. मान लीजिए
$P_n(x)=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots .+\frac{x^{n}}{n}, x \in(0,1)$.
तब समाकलन $\int_0^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ के मान किसके बराबर है?
(1) $\beta-P _{50}(\alpha)$
(2) $-(\beta+P _{50}(\alpha))$
(3) $P _{50}(\alpha)-\beta$
(4) $\beta+P _{50}(\alpha)$
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र , निश्चित समाकलन के गुणधर्म
$I =\int_0^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt= \int_0^{\alpha} \frac{t^{50}-1+1}{1-t}$
$I=-\int_0^{\alpha}(1+t+\ldots . .+t^{49})+\int_0^{\alpha} \frac{1}{1-t} dt$
$I=-(\frac{\alpha^{50}}{50}+\frac{\alpha^{49}}{49}+\ldots . .+\frac{\alpha^{1}}{1})+(\frac{\log_e |(1-t)|}{-1})_0^{\alpha}$
$I=-(\frac{\alpha^{50}}{50}+\frac{\alpha^{49}}{49}+\ldots . .+\frac{\alpha^{1}}{1})+(\frac{\log_e (1-t)}{-1})_0^{\alpha} \qquad [\because \alpha \in (0,1) \Rightarrow |(1-\alpha)|=(1- \alpha)]$
$I=-P _{50}(\alpha)-\log_e |(1-\alpha)|$
$I=-P _{50}(\alpha)-\beta$
बीटा
