निश्चित समाकलन प्रश्न 17
प्रश्न 17 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
एक अवकलनीय फलन $f$ इस प्रकार है कि $f(x)+\int_3^{x} \frac{f(t)}{t} d t=\sqrt{x+1}, x \geq 3$. तब $12 f(8)$ किसके बराबर है:
(1) 34
(2) 19
(3) 17
(4) 1
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: लेब्निज थेओरम , समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन , अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र
$ x $ के सापेक्ष अवकलन करें
$ f^{\prime}(x)+\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+1}} $
I.F. $=e^{\int \frac{1}{x} dx}=e^{\ln x}=x $
$ x f(x)=\int \frac{x}{2 \sqrt{x+1}} d x $
$ x+1=t^{2} $ के प्रतिस्थापन करें
$ x f(x)=\int \frac{t^{2}-1}{2 t} 2 t d t $
$ x f(x)=\frac{t^{3}}{3}-t+c $
$ x f(x)=\frac{(x+1)^{3 / 2}}{3}-\sqrt{x+1}+c $
दिए गए समीकरण में $ x=3 $ रखने पर $ f(3)+0=\sqrt{4} $
$ f(3)=2 $
$ \Rightarrow C=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} $
$ f(x)=\frac{\frac{(x+1)^{3 / 2}}{3}-\sqrt{x+1}+\frac{16}{3}}{x} $
$ f(8)=\frac{9-3+\frac{16}{3}}{8}=\frac{34}{24} $
$ \Rightarrow 12 f(8)=17 $
बीटा
